Felix Hausdorff



Al den viden, som mennesket har opsamlet gennem århundreder om Felix Hausdorff, er nu tilgængelig på internettet, og vi har samlet og arrangeret den for dig på den mest tilgængelige måde. Vi ønsker, at du hurtigt og effektivt kan få adgang til alt det om Felix Hausdorff, som du ønsker at vide, at din oplevelse er behagelig, og at du føler, at du virkelig har fundet de oplysninger om Felix Hausdorff, som du søgte.

For at nå vores mål har vi gjort en indsats for ikke kun at få de mest opdaterede, forståelige og sandfærdige oplysninger om Felix Hausdorff, men vi har også sørget for, at sidens design, læsbarhed, indlæsningshastighed og brugervenlighed er så behagelige som muligt, så du kan fokusere på det væsentlige, nemlig at kende alle de data og oplysninger, der er tilgængelige om Felix Hausdorff, uden at skulle bekymre dig om andet, det har vi allerede taget hånd om for dig. Vi håber, at vi har nået vores mål, og at du har fundet de oplysninger, du ønskede om Felix Hausdorff. Så vi byder dig velkommen og opfordrer dig til at fortsætte med at nyde oplevelsen af at bruge scientiada.comZ.

Felix Hausdorff
Hausdorff 1913-1921.jpg
Født ( 1868-11-08 )8. november 1868
Døde 26. januar 1942 (1942-01-26)(73 år)
Nationalitet tysk
Alma Mater Universitetet i Leipzig
Kendt for
Ægtefælle Charlotte Hausdorff (1873-1942)
Videnskabelig karriere
Felter Matematik
Institutioner University of Bonn , University of Greifswald , University of Leipzig
Afhandling Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung  (1891)
Doktorvejleder

Felix Hausdorff (8. november 1868 - 26. januar 1942) var en tysk matematiker, der anses for at være en af grundlæggerne af moderne topologi, og som bidrog væsentligt til sætteori , beskrivende sætteori , målingsteori og funktionel analyse .

Livet blev svært for Hausdorff og hans familie efter Kristallnacht i 1938. Næste år indledte han bestræbelser på at emigrere til USA, men var ude af stand til at træffe foranstaltninger for at modtage et forskningsstipendium. Den 26. januar 1942 døde Felix Hausdorff sammen med sin kone og hans svigerinde af selvmord ved at tage en overdosis veronal i stedet for at efterkomme tyske ordre om at flytte til Endenich-lejren, og der lider de sandsynlige konsekvenser, som han ikke havde illusioner om.

Liv

Barndom og ungdom

Hausdorffs far, den jødiske købmand Louis Hausdorff (18431896), flyttede i efteråret 1870 med sin unge familie til Leipzig og arbejdede over tid på forskellige virksomheder, herunder en fabrik af linned og bomuld. Han var en uddannet mand og var blevet en Morenu i en alder af 14. Der er flere afhandlinger fra hans pen, herunder et langt arbejde om de arameiske oversættelser af Bibelen ud fra Talmudisk lov.

Hausdorffs mor, Hedwig (18481902), der også i forskellige dokumenter omtales som Johanna, kom fra den jødiske Tietz -familie. Fra en anden gren af denne familie kom Hermann Tietz , grundlægger af det første stormagasin, og senere medejer af varehuskæden kaldet "Hermann Tietz". I nazidiktaturperioden blev navnet "ariseret" til Hertie .

Fra 1878 til 1887 deltog Felix Hausdorff på Nicolai -skolen i Leipzig, en facilitet, der havde et ry som et arnested for humanistisk uddannelse. Han var en fremragende elev, klasseleder i mange år og reciterede ofte selvskrevne latinske eller tyske digte ved skolefester. Ved sin eksamen i 1887 (med to Oberprimen) var han den eneste, der nåede den højeste karakter.

Valget af emne var ikke let for Hausdorff. Magda Dierkesmann, der ofte var gæst i Hausdorffs hjem som studerende i Bonn i årene 19261932, rapporterede i 1967, at:

Hans alsidige musikalske talent var så stort, at kun hans fars insistering fik ham til at opgive sin plan om at studere musik og blive komponist.

Beslutningen blev taget om at studere videnskaberne på gymnasiet.

Grad, doktorgrad og habilitering

Fra sommerperioden 1887 til sommersemesteret 1891 studerede Hausdorff matematik og astronomi , hovedsageligt i sin fødeby Leipzig, afbrudt af et semester i Freiburg (sommersemester 1888) og Berlin (vintersemester 1888/1889). Det overlevende vidnesbyrd fra andre studerende viser ham som en ekstremt alsidig interesseret ung mand, der udover de matematiske og astronomiske foredrag deltog i foredrag i fysik , kemi og geografi og også foredrag om filosofi og filosofihistorie samt emner om sprog , litteratur og samfundsvidenskab . I Leipzig hørte han foredrag om musikhistorien fra musikolog Paul. Hans tidlige kærlighed til musik varede et helt liv; i Hausdorffs hus var der imponerende musikalske aftener med udlejeren ved klaveret, ifølge vidneudsagn fra forskellige deltagere. Selv som studerende i Leipzig var han beundrer og kender af Richard Wagners musik .

I senere semestre af sine studier var Hausdorff tæt på Heinrich Bruns (18481919). Bruns var professor i astronomi og direktør for observatoriet ved universitetet i Leipzig. Under ham tog Hausdorff eksamen i 1891 med et arbejde om teorien om astronomisk lysbrydning i atmosfæren. To publikationer om det samme emne fulgte, og i 1895 fulgte hans habilitering også med et speciale om lysets absorption i atmosfæren. Disse tidlige astronomiske værker af Hausdorff har - på trods af deres fremragende matematiske gennemarbejdelse - ikke fået betydning. For det første har den underliggende idé om Bruns ikke vist sig levedygtig (der var behov for brydningsobservationer nær den astronomiske horisont, som - som Julius Bauschinger kunne vise lidt senere - i princippet ikke kan opnås med den krævede nøjagtighed). På den anden side har fremskridtet i den direkte måling af atmosfæriske data ( vejrballonstigninger ) siden gjort denne omhyggelige nøjagtighed af disse data fra refraktionsobservationer unødvendig. I tiden mellem ph.d. og habilitering gennemførte Hausdorff det årlige frivillige militære krav og arbejdede i to år som en menneskelig computerobservatoriet i Leipzig.

Docent i Leipzig

Med sin habilitering blev Hausdorff lektor ved universitetet i Leipzig og begyndte en omfattende undervisning inden for en række forskellige matematiske områder. Udover undervisning og forskning i matematik gik han med sine litterære og filosofiske tilbøjeligheder. En mand med forskellige interesser, uddannet, meget følsom og sofistikeret i tænkning, følelse og oplevelse, frekventerede han i sin Leipzig -periode med en række berømte forfattere, kunstnere og forlag som Hermann Conradi , Richard Dehmel , Otto Erich Hartleben , Gustav Kirstein , Max Klinger , Max Reger og Frank Wedekind . Årene 1897 til omkring 1904 markerer højdepunktet i hans litterære og filosofiske kreativitet, i løbet af hvilken tid 18 af hans 22 pseudonyme værker blev udgivet, herunder en poesibog, et teaterstykke, en epistemologisk bog og en mængde aforismer.

Hausdorff blev gift med Charlotte Goldschmidt i 1899, datter af den jødiske læge Siegismund Goldschmidt. Hendes stedmor var den berømte suffragist og førskolelærer Henriette Goldschmidt. Hausdorffs eneste barn, datteren Lenore (Nora), blev født i 1900; hun overlevede den nationalsocialistiske æra og nød et langt liv og døde i Bonn i 1991.

Første professorat

I december 1901 blev Hausdorff udnævnt til adjungeret lektor ved universitetet i Leipzig. Den ofte gentagne påstand om, at Hausdorff fik et opkald fra Göttingen og afviste det, kan ikke verificeres og er sandsynligvis forkert. Da han ansøgte i Leipzig, var Dean Kirchner blevet ført til en meget positiv stemme blandt sine kolleger, skrevet af Heinrich Bruns, stadig ledsaget af følgende ord:

Fakultetet anser sig imidlertid forpligtet til at rapportere til Det Kongelige Ministerium, at ovennævnte ansøgning i andet november i år havde fakultetsmøde ikke været accepteret af alle, men med 22 stemmer for 7. Mindretallet var imod, fordi Dr. Hausdorff er af den mosaiske tro.

Dette citat understreger den ikke- skjulte antisemitisme til stede, som især tog en kraftig opgang efter Gründerkrach i 1873 i hele det tyske rige. Leipzig var et centrum for antisemitisk bevægelse, især blandt de studerende. Dette kan meget vel være årsagen til, at Hausdorff ikke følte sig godt tilpas i Leipzig. En anden årsag var måske belastningerne på grund af Leipzig -professorernes hierarkiske stilling.

Efter hans habilitering skrev Hausdorff et andet værk om optik , om ikke-euklidisk geometri og om hyperkompleks talsystemer samt to artikler om sandsynlighedsteori . Imidlertid blev hans vigtigste arbejdsområde hurtigt sætteori, især teorien om ordnede sæt . Det var oprindeligt en filosofisk interesse, som førte ham omkring 1897 til at studere Georg Cantors arbejde. Allerede i sommersemesteret 1901 holdt Hausdorff et foredrag om sætteori. Dette var overhovedet et af de første foredrag om sætteori; Ernst Zermelos forelæsninger i Göttingen College i vinterhalvåret 1900/1901 var lidt tidligere. Det år udgav han sit første papir om ordretyper, hvor han undersøgte en generalisering af velordninger kaldet graderede ordretyper , hvor en lineær rækkefølge er klassificeret, hvis ikke to af dens segmenter deler den samme ordretype . Han generaliserede Cantor -Bernstein -sætningen , der sagde, at samlingen af tællelige ordretyper har kontinuumets kardinalitet og viste, at samlingen af alle graderede typer af en idempotent kardinalitet m har en kardinalitet på 2 m .

For sommersemesteret 1910 blev Hausdorff udnævnt til professor ved universitetet i Bonn . I Bonn begyndte han et foredrag om sætteori, som han gentog i sommersemesteret 1912, væsentligt revideret og udvidet.

I sommeren 1912 begyndte han også at arbejde på sit magnum opus, bogen Basics of set theory . Det blev afsluttet i Greifswald, hvor Hausdorff var blevet udnævnt til sommersemesteret som professor i 1913 og blev frigivet i april 1914.

Den Universitetet i Greifswald var den mindste af de preussiske universiteter. Også det matematiske institut var lille; i sommersemesteret 1916 og vintersemester 1916/17 var Hausdorff den eneste matematiker i Greifswald. Dette bragte med sig, at han var næsten fuldt optaget af at undervise i grundkurserne. Det var en væsentlig forbedring af hans akademiske situation, da Hausdorff i 1921 blev udnævnt til Bonn. Her kunne han udvikle en tematisk vidtrækkende undervisning og altid holde foredrag om den nyeste forskning. Han holdt et særligt bemærkelsesværdigt foredrag om sandsynlighedsteori (NL Hausdorff: Capsule 21: Fasz 64) i sommersemesteret 1923, hvor han grundlagde denne teori i måtteoretisk aksiomatisk teori, og dette skete ti år før AN Kolmogorovs "Basic begreber om sandsynlighedsteori "(genoptrykt i sin helhed i de samlede værker, bind V). I Bonn havde Hausdorff Eduard Study , og senere med Otto Toeplitz , fremragende matematikere samt kolleger og venner.

Under nazistisk diktatur og selvmord

Det nationalsocialistiske partis statslære etablerede antisemitisme og magtovertagelse. Hausdorff var i første omgang ikke bekymret over " Loven for restaurering af den professionelle embedsmand ", der blev vedtaget i 1933, fordi han havde været en tysk embedsmand siden før 1914. Han blev dog ikke helt skånet, da et af hans foredrag blev afbrudt af Nazistuderende. Han stoppede sit Calculus III -kursus fra 1934/1935 fra 20. november. I løbet af denne tid var der en arbejdssession i National Socialist German Student Union (NSDStB) ved universitetet i Bonn, der valgte "Race og etnicitet" som tema for semesteret. Antagelsen er, at denne begivenhed hænger sammen med aflysningen af Hausdorffs klasse, for ellers stoppede han aldrig i sin lange karriere som universitetslærer en klasse.

Den 31. marts 1935, efter en del frem og tilbage, fik Hausdorff endelig status som emeritus. Ingen takord blev givet for 40 års vellykket arbejde i det tyske videregående uddannelsessystem. Han arbejdede utrætteligt og udgav ud over den udvidede udgave af sit arbejde med sætteori syv værker om topologi og beskrivende sætteori, alle udgivet i polske blade: et i Studia Mathematica , de andre i Fundamenta Mathematicae .

Hans Nachlass viser, at Hausdorff stadig arbejdede matematisk i disse stadig vanskeligere tider og fulgte den aktuelle udvikling af interesse. Han blev uselvisk støttet på dette tidspunkt af Erich Bessel-Hagen , en loyal ven til Hausdorff-familien, der skaffede bøger og blade fra biblioteket på instituttet, som Hausdorff ikke længere måtte komme ind som jøde.

Om de ydmygelser, Hausdorff og hans familie især blev udsat for efter Kristallnacht i 1938, er meget kendt og fra mange forskellige kilder, f.eks. Fra brevene fra Bessel-Hagen.

Forgæves bad Hausdorff matematikeren Richard Courant i 1939 om et forskningsstipendium for at kunne emigrere til USA.

I midten af 1941 begyndte Bonn-jøderne at blive deporteret til klosteret "Til evig tilbedelse" i Endenich , hvorfra nonnerne var blevet fordrevet. Transporterne til dødslejrene i øst fandt sted senere. Efter at Hausdorff, hans kone og hans kones søster, Edith Pappenheim (der boede hos dem) i januar 1942 blev beordret til at flytte til Endenich -lejren, døde de af selvmord den 26. januar 1942 ved at tage en overdosis veronal . Deres sidste hvilested ligger på Poppelsdorfer kirkegård i Bonn. Mellem deres placering i midlertidige lejre og hans selvmord gav han sin håndskrevne Nachlass til egyptologen og præsten Hans Bonnet , der reddede så mange af dem som muligt, trods ødelæggelsen af hans hus ved en bombe.

Nogle af hans medjøder havde muligvis illusioner om lejren Endenich, men ikke Hausdorff. E. Neuenschwander opdagede i godset til Bessel-Hagen det afskedsbrev, som Hausdorff skrev til sin advokat Hans Wollstein, der også var jøde. Her er begyndelsen og slutningen på brevet:

Kære ven Wollstein!

Hvis du modtager disse linjer, har vi (tre) løst problemet på en anden måde - på den måde, du konstant har forsøgt at afskrække os. Den følelse af sikkerhed, som du har forudsagt for os, når vi ville overvinde bevægelsens vanskeligheder, undgår stadig os; tværtimod er Endenich måske ikke engang slutningen!

Det, der er sket i de seneste måneder mod jøderne, fremkalder berettiget frygt for, at de ikke vil lade os leve for at se en mere tålelig situation.

Efter at have takket venner og i stor ro, udtrykt sine sidste ønsker om hans begravelse og hans vilje, skriver Hausdorff:

Jeg er ked af, at vi medfører endnu større indsats ud over døden, og jeg er overbevist om, at du gør, hvad du kan (hvilket måske ikke er særlig meget). Tilgiv os vores desertion! Vi ønsker dig og alle vores venner en bedre tid.

Du er virkelig hengiven

Felix Hausdorff

Desværre blev dette ønske ikke opfyldt. Hausdorffs advokat, Wollstein, blev myrdet i Auschwitz .

Hausdorffs bibliotek blev solgt af hans svigersøn og eneste arving, Arthur König. Den håndskrevne Nachlass blev adopteret af en familieven, Bonn Egyptologist Hans Bonnet, til opbevaring. Det er nu på universitetet og statsbiblioteket i Bonn. Den Nachlass er katalogiseret.

Arbejde og reception

Hausdorff som filosof og forfatter (Paul Mongré)

Hausdorffs mængde aforismer, udgivet i 1897, var hans første værk udgivet under pseudonymet Paul Mongré. Den har titlen Sant 'Ilario. Tanker fra landskabet i Zarathustra . Undertitlen til Sant 'Ilario, "Tanker fra Zarathustras landskab", spiller først og fremmest på det faktum, at Hausdorff havde afsluttet sin bog under et restitutionsophold på den liguriske kyst ved Genova, og at Friedrich Nietzsche i det samme område skrev de to første dele af Thus Spoke Zarathustra; han hentyder også til hans åndelige nærhed til Nietzsche. I en artikel om Sant 'Ilario i ugebladet Die Zukunft erkendte Hausdorff udtrykkeligt sin gæld til Nietzsche.

Hausdorff forsøgte ikke at kopiere eller endda overskride Nietzsche. "Af Nietzsche efterligning ingen spor", siger en nutidig anmeldelse. Han følger Nietzsche i et forsøg på at frigøre individuel tænkning, til at tage sig friheden til at stille spørgsmålstegn ved forældede standarder. Hausdorff bevarede kritisk afstand til Nietzsches sene værker. I sit essay om bogen The Will to Power, der er samlet fra noter efterladt i Nietzsche -arkivet, siger han:

I Nietzsche lyser en fanatiker. Hans avlsmoral, opført på vores nuværende biologiske og fysiologiske grundlag for viden: det kan være en verdenshistorisk skandale, som inkvisitionen og hekseforsøgene falmer i harmløse afvigelser.

Hans kritiske standard tog han fra Nietzsche selv,

Fra den venlige, beskedne, forstående Nietzsche og fra den frie ånd af den kølige, dogmefrie, usystematiske skeptiker Nietzsche ...

I 1898 optrådte - også under pseudonymet Paul Mongré - Hausdorffs epistemologiske eksperiment Kaos i kosmisk udvælgelse . Metafysikkritikken i denne bog havde sit udgangspunkt i Hausdorffs konfrontation med Nietzsches idé om evig tilbagefald. Det kommer i sidste ende til at ødelægge enhver form for metafysik. Fra selve verden ved vi fra den transcendente verdenskerne - som Hausdorff udtrykte det - intet, og vi ved ingenting. Vi må antage "selve verden" som ubestemt og ubestemmelig som et rent kaos. Vores oplevelsesverden, vores kosmos er resultatet af udvælgelsen, det udvalg, som vi altid instinktivt har foretaget i henhold til vores muligheder for at forstå og lave mere. Fra dette kaos kunne man også se andre ordrer, andre Kosmoi. Under alle omstændigheder kan du fra vores kosmos verden ikke konkludere eksistensen af en transcendent verden.

I 1904 dukkede Hausdorffs skuespil op i magasinet The New Rundschau, enakteren Lægen til hans ære . Det er en grov satire om duellen og om de traditionelle begreber om ære og adel i det preussiske officerskorps, som i det borgerlige samfund i udvikling i stigende grad var anakronistiske. Lægen til hans ære var Hausdorffs største litterære succes. I 19141918 var der talrige forestillinger i mere end tredive byer. Hausdorff skrev senere en epilog til stykket, men det blev ikke opført på det tidspunkt. Først i 2006 havde denne epilog sin premier på det årlige møde i det tyske matematiske selskab i Bonn.

Udover ovennævnte værker skrev Hausdorff talrige essays, der dukkede op i nogle af datidens førende litterære blade samt en digtsbog, Ecstasy (1900). Nogle af hans digte blev sat til musik af den østrigske komponist Joseph Marx .

Teori om bestilte sæt

Hausdorffs indtræden i en grundig undersøgelse af bestilte sæt blev delvist foranlediget af Cantors kontinuumproblem: hvilket sted indtager kardinalnummeret i serien . I et brev til Hilbert den 29. september 1904 taler han om dette problem, "det har plaget næsten som en monomani". Han så i sættet en ny strategi for at angribe problemet. Cantor havde mistanke , men havde kun vist . er "antallet" af mulige velordninger af et tællbart sæt  ; var nu fremstået som "antallet" af alle mulige ordrer på et sådant beløb. Det var derfor naturligt at studere systemer, der er mere specielle end almindelige ordrer, men mere generelle end velordninger. Hausdorff gjorde netop det i sit første bind af 1901 med offentliggørelsen af teoretiske undersøgelser af "graded sets". Vi ved fra resultaterne af Kurt Gödel og Paul Cohen , at denne strategi til at løse kontinuumproblemet er lige så ineffektiv som Cantors strategi, der havde til formål at generalisere Cantor -Bendixson -princippet for lukkede sæt til generelle utallige sæt.

I 1904 udgav Hausdorff rekursionen opkaldt efter ham:

For hver ubegrænset ordinal har vi

Denne formel var sammen med den senere forestilling om kofinalitet indført af Hausdorff grundlaget for alle yderligere resultater for Aleph -eksponentiering . Hausdorffs fremragende viden om problemerne ved denne type sekvenser blev også bemyndiget af hans bestræbelser på at afdække fejlen i Julius Königs foredrag på den internationale matematikerkongres i 1904 i Heidelberg . Der havde König argumenteret for, at kontinuum ikke kan være velordnet, så dets kardinalitet er ingen Aleph, og forårsagede dermed en stor opsigt. Påstanden om, at det var Hausdorff, der præciserede fejlen, har en særlig vægt, fordi der blev trukket et falsk billede i den historiske litteratur i mere end 50 års begivenheder i Heidelberg.

I årene 19061909 udførte Hausdorff sit grundlæggende arbejde med bestilte sæt. Kun et par punkter kan berøres kort. Af grundlæggende betydning for hele teorien er begrebet kofinalitet, som Hausdorff introducerede. En ordinal kaldes regelmæssig, hvis den er kofinal med enhver mindre ordinal; ellers er det ental. Hausdorffs spørgsmål om, hvorvidt der er regelmæssige tal med indeks en grænseordinal, var udgangspunktet for teorien om utilgængelige kardinaler. Hausdorff havde allerede bemærket, at sådanne tal, hvis de findes, skal være af "ublu størrelse".

Af grundlæggende betydning er følgende sætning af Hausdorff: for hvert ubegrænset ordnet tæt sæt er der to entydigt bestemte regelmæssige begyndelsestal, så det er kofinal med og coinitial med (* angiver den omvendte rækkefølge). Denne sætning giver f.eks. En teknik til at karakterisere elementer og huller i ordnede sæt. Således udnyttede Hausdorff de mellemrumstegn og elementkarakterer, han introducerede.

Hvis er et forudbestemt sæt tegn (element- og mellemrumstegn), opstår spørgsmålet, om der er ordnede sæt, hvis tegnsæt er nøjagtigt . Man kan let finde en nødvendig betingelse for . Hausdorff kunne vise, at denne betingelse også er tilstrækkelig. Til dette har man brug for et rigt reservoir af bestilte sæt; Hausdorff havde skabt dette med sin teori om generelle produkter og kræfter. I dette reservoir findes sådanne interessante strukturer som Hausdorff- normale typer, i forbindelse med hvilke Hausdorff først formulerede den generaliserede kontinuumhypotese . Hausdorffs sæt udgjorde udgangspunktet for studiet af den vigtige modelteori om mættet struktur .

Hausdorffs generelle produkter og kardinaliteters beføjelser havde ført ham til begrebet delvist ordnet sæt. Spørgsmålet om, hvorvidt en ordnet delmængde af et delvist ordnet sæt er indeholdt i et maksimalt ordnet undersæt, blev besvaret positivt af Hausdorff ved hjælp af den velordnede sætning. Dette er Hausdorffs maksimale princip . Det følger ikke kun af den velordnede sætning (eller af valget (svarende til dette) aksiom), men det er, som det viste sig, selv at valgaksiomet er ækvivalent.

Allerede i 1908 fandt Arthur Moritz Schoenflies i anden del af sin rapport om sætteori, at den nyere teori om ordnede sæt (dvs. det, der opstod efter Cantors udvidelser deraf) næsten udelukkende skyldtes Hausdorff.

"Magnum Opus": "Principper for sætteori"

Ifølge tidligere forestillinger omfattede sætteori ikke kun den generelle sætteori og teorien om punkter, men også dimension og målingsteori. Hausdorffs arbejde var den første lærebog, der præsenterede hele sætteorien i denne brede forstand, systematisk og med fuldstændige beviser. Hausdorff var klar over, hvor let det menneskelige sind kan tage fejl, mens det også søger strenghed og sandhed. Så han foreslog i forordet til værket:

Af det menneskelige fejlprivilegium at gøre en så økonomisk brug som muligt.

Denne bog gik langt ud over dens mesterlige fremstilling af det kendte. Det indeholdt også en række vigtige originale bidrag fra forfatteren, som kun kan antydes i det følgende.

De første seks kapitler omhandler de grundlæggende begreber i den generelle sætsteori. I begyndelsen opstiller Hausdorff en detaljeret sæt algebra med nogle banebrydende nye begreber (forskellighedskæder, sætringe og sætfelter - og -systemer). Disse indledende afsnit om sæt og deres forbindelser omfattede f.eks. Den moderne sætteoretiske opfattelse af funktioner. Dernæst fulgte i kapitel 3 til 5 den klassiske teori om kardinalnumre, ordretyper og ordinaler. I det sjette kapitel "Forholdet mellem ordnede og velordnede sæt" præsenterer Hausdorff blandt andet de vigtigste resultater af sin egen forskning om ordnede sæt.

I kapitlerne om "punktsæt" - de topologiske kapitler - udviklede Hausdorff for første gang, baseret på de kendte nabolagaksiomer, en systematisk teori om topologiske rum, hvor derudover tilføjede separationsaksiomet senere opkaldt efter ham. Denne teori stammer fra en omfattende syntese af tidligere tilgange til andre matematikere og Hausdorffs egne refleksioner over rumproblemet. Begreber og sætninger i klassisk punktsætteteori overføres-så vidt muligt-til den generelle sag og bliver dermed en del af den nyoprettede generelle eller sætteoretiske topologi. Men Hausdorff udførte ikke kun dette "oversættelsesarbejde", men han udviklede også grundlæggende konstruktionsmetode for topologi som nukleation (indre, tæt-i-sig selv kerne) og skaldannelse (lukning), og han arbejder med den grundlæggende betydning af begrebet åben sæt (kaldet "område" af ham) og af kompaktheden introduceret af Fréchet. Han grundlagde og udviklede også teorien om det tilsluttede sæt, især gennem introduktionen af udtrykkene "komponent" og "kvasi-komponent".

Ved den første og til sidst den anden Hausdorff -tælleraksiom blev de betragtede rum gradvist yderligere specialiseret. En stor klasse mellemrum, der opfylder det tællelige første aksiom, er metriske mellemrum . De blev introduceret i 1906 af Fréchet under navnet "klasser (E)". Udtrykket "metrisk rum" kommer fra Hausdorff. I Principles udviklede han teorien om metriske rum og berigede det systematisk gennem en række nye begreber: Hausdorff metrisk , komplet , total afgrænsning , -forbindelse, reducerbare sæt. Fréchets arbejde var blevet lidt bemærket; kun gennem Hausdorffs principper blev metriske rum matematikerens fælles ejendom.

Kapitlet om illustrationer og det sidste kapitel i Principper om måle- og integrationsteori beriges af materialets generalitet og præsentationens originalitet. Hausdorffs omtale af målingsteoriens betydning for sandsynlighed havde stor historisk effekt på trods af dens lakoniske kortfattethed. Man finder i dette kapitel den første rigtige bevis for den stærke store tals lov af Émile Borel . Endelig indeholder tillægget den mest spektakulære resultat af hele bogen, nemlig Hausdorff sætning, at man ikke kan definere et volumen for alle afgrænset delmængder af for . Beviset er baseret på Hausdorffs paradoksale nedbrydning af kugler, hvis produktion kræver valgfrit aksiom.

I løbet af det 20. århundrede blev det standarden for at bygge matematiske teorier om aksiomatisk sætteori. Oprettelsen af aksiomatisk funderede generaliserede teorier, såsom den generelle topologi, tjente blandt andet til at udpege den fælles strukturelle kerne for forskellige specifikke tilfælde eller regioner og derefter opstille en abstrakt teori, som indeholdt alle disse dele som special cases. Dette medførte en stor succes i form af forenkling og harmonisering og bragte i sidste ende tankeøkonomi med sig selv. Hausdorff selv fremhævede dette aspekt i principperne . Det topologiske kapitel de grundlæggende begreber er metodisk en banebrydende indsats, og de viste vejen for udviklingen af moderne matematik.

Sætteoriens principper dukkede op i en allerede anspændt tid på tærsklen til første verdenskrig. I august 1914, krigen, som også dramatisk påvirkede det videnskabelige liv i Europa. Under disse omstændigheder kunne det næppe være en effektiv Hausdorffs bog i de første fem til seks år efter dens udseende. Efter krigen satte en ny generation af unge forskere sig for at udvide de forslag, der var inkluderet i dette arbejde i så stor overflod, og uden tvivl var topologien i fokus. Tidsskriftet Fundamenta Mathematicae spillede en særlig rolle i modtagelsen af Hausdorffs ideer, grundlagt i Polen i 1920. Det var en af de første matematiske tidsskrifter med særlig vægt på sætteori, topologi, teori om reelle funktioner, måle- og integrationsteori, funktionsanalyse , logik og grundlag for matematik. I dette spektrum var et særligt fokus den generelle topologi. Hausdorffs principper var til stede i Fundamenta Mathematicae fra det første bind i en bemærkelsesværdig frekvens. Af de 558 værker (Hausdorffs egne tre værker ikke beregnet), der optrådte i de første tyve bind fra 1920 til 1933, nævner 88 principper . Man skal endda tage højde for, at efterhånden som Hausdorffs opfattelser i stigende grad blev almindelige, så blev de også brugt i en række værker, der ikke omtalte dem eksplicit.

Den russiske topologiske skole, grundlagt af Paul Alexandroff og Paul Urysohn , var stærkt baseret på Hausdorffs principper . Dette viser den overlevende korrespondance i Hausdorffs Nachlass med Urysohn, og især Alexandroff og Urysohns Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes , et værk på størrelse med en bog, hvor Urysohn udviklede dimensionsteori og principper citeres ikke færre end 60 gange.

Længe efter Anden Verdenskrig var der stor efterspørgsel efter Hausdorffs bog, og der var tre genoptryk hos Chelsea fra 1949, 1965 og 1978.

Beskrivende sætteori, målingsteori og analyse

I 1916 løste Alexandroff og Hausdorff uafhængigt kontinuumproblemet for Borelsæt: Hvert Borelsæt i et fuldstændigt adskilleligt metrisk rum er enten tællbart eller har kontinuitetets kardinalitet. Dette resultat generaliserer Cantor -Bendixson -sætningen, som en sådan erklæring gælder for de lukkede sæt af . For lineære sæt havde William Henry Young bevist resultatet i 1903, for sæt opnåede Hausdorff et tilsvarende resultat i 1914 i Principles . Teoremet om Alexandroff og Hausdorff var en stærk drivkraft for yderligere udvikling af beskrivende sætteori.

Blandt publikationerne af Hausdorff i sin tid på Greifswald er værket Dimension og ydre mål fra 1919 særligt fremragende. Det har forblevet meget aktuelt og har i senere år sandsynligvis været det mest citerede matematiske originalværk fra årtiet fra 1910 til 1920. I dette arbejde blev de begreber introduceret, som nu er kendt som Hausdorff -mål og Hausdorff -dimensionen .

Begrebet Hausdorff -dimension er nyttig til karakterisering og sammenligning af "meget robuste mængder". Begreberne Dimension og ydre måling har oplevet anvendelser og videreudviklinger på mange områder såsom i teorien om dynamiske systemer, geometrisk målingsteori, teorien om selvlignende sæt og fraktaler, teorien om stokastiske processer, harmonisk analyse, potentialteori og talteori.

Betydeligt analysearbejde fra Hausdorff fandt sted i hans anden gang i Bonn. I Summationsmetoder og moment -sekvenser I i 1921 udviklede han en hel klasse af summeringsmetoder til divergerende serier, som i dag kaldes Hausdorff -metoder . I Hardys klassiske Divergent Series er et helt kapitel afsat til Hausdorff -metoden. De klassiske metoder fra Hölder og Cesàro viste sig at være en særlig Hausdorff -metode. Hver Hausdorff -metode er givet ved en øjeblikssekvens; i denne sammenhæng gav Hausdorff en elegant løsning af øjeblikkeproblemet i et begrænset interval, uden om teorien om fortsatte fraktioner. I Moment -problemer i et begrænset interval i 1923 behandlede han mere specielle momentproblemer, f.eks. Dem med visse begrænsninger for at generere tæthed , for eksempel . Kriterier for opløselighed og bestemmelse af øjebliksproblemer optog Hausdorff i mange år som hundredvis af sider med undersøgelser i hans Nachlass attesterer.

Et betydeligt bidrag til den nye funktionsanalyse i tyverne var Hausdorffs udvidelse af Riesz-Fischer-sætningen til rum i sit værk fra 1923 En forlængelse af Parsevals sætning om Fourier-serien . Han beviste de uligheder, der nu er opkaldt efter ham og WH Young . Hausdorff Unge uligheder blev udgangspunktet for store nye udviklinger.

Hausdorffs bog Set Theory dukkede op i 1927. Dette blev erklæret som en anden udgave af principper , men det var faktisk en helt ny bog. Da skalaen blev reduceret betydeligt på grund af dens udseende i Gochens undervisningsbibliotek, blev store dele af teorien om bestilte sæt og foranstaltninger og integrationsteori fjernet. "Mere end disse sletninger vil læseren måske fortryde" (sagde Hausdorff i forordet), "at jeg for yderligere at spare plads i punktsætteori har forladt det topologiske synspunkt, som den første udgave tilsyneladende har fået mange venner til har begrænset mig til den lettere teori om metriske rum ".

Faktisk var dette en eksplicit beklagelse af nogle korrekturlæsere af værket. Som en slags kompensation viste Hausdorff for første gang den daværende aktuelle tilstand af beskrivende sætteori. Denne kendsgerning sikrede bogen næsten lige så intens modtagelse som Principper , især i Fundamenta Mathematicae. Som lærebog var den meget populær. I 1935 blev der udgivet en udvidet udgave, og denne blev genoptrykt af Dover i 1944. En engelsk oversættelse dukkede op i 1957 med genoptryk i 1962 og 1967.

Der var også en russisk udgave (1937), selvom det kun delvist var en trofast oversættelse, og dels en omarbejdning af Alexandroff og Kolmogorov . I denne oversættelse flyttede det topologiske synspunkt igen til forkant. I 1928 dukkede en anmeldelse af Set Theory op fra pennen til Hans Hahn. Måske havde Hahn faren for tysk antisemitisme i tankerne, da han lukkede denne diskussion med følgende sætning:

En eksemplarisk skildring i enhver henseende af et vanskeligt og tornet område, et arbejde på niveau med dem, der har båret berømmelsen af tysk videnskab om verden og sådan, at alle tyske matematikere kan være stolte over.

De sidste værker

I sit sidste værk Erweiterung einer stetigen Abbildung viste Hausdorff i 1938, at en kontinuerlig funktion fra en lukket delmængde af et metrisk rum kan udvides til alle (selvom billedet muligvis skal udvides). Som et specielt tilfælde kan hver homeomorfisme fra udvides til en homomorfisme fra . Dette arbejde fremlagde resultater fra tidligere år. I 1919 havde Hausdorff i Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung blandt andet givet endnu et bevis på Tietze -forlængelsessætningen . I 1930 viste han i Erweiterung einer Homöomorphie (udvidelse af en homomorfisme) følgende: Lad være et metrisk rum, en lukket delmængde. Hvis der gives en ny metric uden at ændre topologien, kan denne metric udvides til at omfatte hele rummet uden at ændre topologien. Værket Gestufte Räume dukkede op i 1935. Her diskuterede Hausdorff rum, der opfyldte Kuratowski -lukningsaksiomerne op til kun aksiomet for idempotens. Han navngav dem klassificerede rum (ofte også kaldet lukningsrum) og brugte dem i undersøgelsen af forholdet mellem Fréchet -grænserum og topologiske rum .

Hausdorff som navngiver

Navnet Hausdorff findes i hele matematikken. Blandt andre blev disse begreber opkaldt efter ham:

På universiteterne i Bonn og Greifswald blev disse ting navngivet til hans ære:

  • den Hausdorff Center for Matematik i Bonn,
  • den Hausdorff Research Institute for Matematik i Bonn, og
  • det Felix Hausdorff Internationale Begegnungszentrum i Greifswald.

Udover disse er der i Bonn Hausdorffstraße (Hausdorff Street), hvor han først boede. (Haus-Nr. 61). I Greifswald er der en Felix-Hausdorff Straße, hvor Institutterne for Biokemi og Fysik er placeret, bl.a. Siden 2011 er der en "Hausdorffweg" (Hausdorff-Way) midt i Leipziger Ortsteil Gohlis .

Asteroiden 24947 Hausdorff blev opkaldt efter ham.

Skrifter

Som Paul Mongré

Kun et udvalg af de essays, der optrådte i teksten, vises her.

  • Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag CG Naumann, Leipzig 1897.
  • Das Chaos in kosmischer Auslese - Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag CG Naumann, Leipzig 1898; Genoptrykt med forord af Max Bense: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976, ISBN  3-87007-013-7
  • Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 6475.
  • Das unreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443452.
  • Ekstasen. Lydstyrke. Verlag H. Seemann Nachf., Leipzig 1900.
  • Der Wille zur Macht. I: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 13341338.
  • Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183189.
  • Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 12331258.
  • Der Arzt seiner Ehre, Groteske. I: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. Ny udgave som: Der Arzt seiner Ehre. Komödie in einem Akt mit einem Epilog. Med 7 portrætter og træsnit af Hans Alexander Müller efter tegninger af Walter Tiemann, 10 Bl., 71 S. Femte tryk af Leipziger Bibliophilen-Abends, Leipzig 1910. Ny udgave: S. Fischer, Berlin 1912, 88 S.

Som Felix Hausdorff

Hausdorff på bestilte sæt . Trans. og red .: Jacob M. Plotkin, American Mathematical Society 2005.

Samlede værker

"Hausdorff-udgaven", redigeret af E. Brieskorn (), F. Hirzebruch (), W. Purkert (alle Bonn), R. Remmert () (Münster) og E. Scholz (Wuppertal) med samarbejdet af over tyve matematikere, historikere, filosoffer og lærde, er et igangværende projekt fra North Rhine-Westphalian Academy of Sciences, Humanities and the Arts for at præsentere værker af Hausdorff med kommentarer og meget ekstra materiale. Bindene er udgivet af Springer-Verlag , Heidelberg. Ni bind er blevet offentliggjort med bind I, der er delt op i bind IA og bind IB. Se webstedet for Hausdorff Project -webstedet for Hausdorff Edition (tysk) for yderligere oplysninger. Mængderne er:

Referencer

  • Alexandroff, P .; Hopf, H .: Topologie. Springer-Verlag , Berlin 1935.
  • Brieskorn, E .: Gustav Landauer und der Mathematiker Felix Hausdorff. I: H. Delf, G. Mattenklott: Gustav Landauer im Gespräch - Symposium zum 125. Geburtstag. Tübingen 1997, S. 105128.
  • Brieskorn, E. (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Gedächtnis. Aspekte seines Werkes. Vieweg , Braunschweig/Wiesbaden 1996.
  • Brieskorn, E .; Purkert, W .: Felix Hausdorff-Biographie. (Band IB der Edition), Springer, Heidelberg 2018.
  • Eichhorn, E .; Thiele, E.-J .: Vorlesungen zum Gedenken an Felix Hausdorff , Heldermann Verlag , Berlin 1994, ISBN  3-88538-105-2 .
  • Koepke, P., Kanovei V., Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre , 2001, uni-bonn.de (pdf)
  • Lorentz, GG: Das wiskundige Werk von Felix Hausdorff. Jahresbericht der DMV 69 (1967), 54 (130) -62 (138).
  • Purkert, Walter: Felix Hausdorffs dobbeltliv/Paul Mongré. Mathematical Intelligencer, 30 (2008), 4, S. 36 ff.
  • Purkert, Walter: Felix Hausdorff - Paul Mongré. Matematiker - filosof - bogstavens mand . Hausdorff Center for Matematik, Bonn 2013.
  • Stegmaier, W .: Ein Mathematiker in der Landschaft Zarathustras. Felix Hausdorff som filosof. Nietzsche-Studien 31 (2002), 195240.
  • Vollhardt, F .: Von der Sozialgeschichte zur Kulturwissenschaft Die literarisch-essayistischen Schriften des Mathematikers Felix Hausdorff (18681942): Vorläufige Bemerkungen in systematischer Absicht. I: Huber, M .; Lauer, G. (Hrsg.): Nach der Sozialgeschichte - Konzepte für eine Literaturwissenschaft zwischen Historischer Anthropologie, Kulturgeschichte und Medientheorie. Max Niemeier Verlag, Tübingen 2000, S. 551573.
  • Wagon, S .: Banach Tarski Paradox . Cambridge Univ. Press, Cambridge 1993.
  • Lexikon deutsch-jüdischer Autoren , Band 10, Saur, München 2002, S. 262268

Se også

Referencer

eksterne links

Opiniones de nuestros usuarios

Helle Nissen

Jeg finder det meget interessant, hvordan dette indlæg om Felix Hausdorff er skrevet, det minder mig om min skoletid. Sikke en dejlig tid, tak fordi du tog mig med tilbage til dem.

Helge Carstensen

I dette indlæg om Felix Hausdorff har jeg lært ting, jeg ikke vidste, så nu kan jeg gå i seng

Bente Vilhelmsen

Jeg fandt de oplysninger, jeg fandt om Felix Hausdorff, meget nyttige og fornøjelige. Hvis jeg skulle tilføje et men, kunne det være, at den ikke er tilstrækkelig rummelig i sin formulering, men ellers er den fantastisk., Artiklen om Felix Hausdorff er meget nyttig og fornøjelig, Artiklen om Felix Hausdorff er meget nyttig