Subnormale undergrupper

Subnormale undergrupper er et matematisk begreb som hører til under Gruppeteori. Lad ${\displaystyle G}$ være en gruppe (matematik), en undergruppe ${\displaystyle N}$ i ${\displaystyle G}$ siges at være normal hvis den opfylder en af følgende tre ækvivalente betingelser:

1. For alle ${\displaystyle g\in G}$ gælder ${\displaystyle gN=Ng}$
2. For alle ${\displaystyle g\in G}$ gælder ${\displaystyle gNg^{-1}=N}$
3. For alle ${\displaystyle g\in G}$ gælder ${\displaystyle gNg^{-1}\subseteq N}$

Således er alle undergrupper i en abelsk gruppe normale undergrupper. En undergruppe N af index 2 i ${\displaystyle G}$ er altid normal. Hvis en undergruppe N i ${\displaystyle G}$ er normal skrives det som ${\displaystyle N\trianglelefteq G}$.

Normale undergrupper opfylder generelt ikke den transitive lov. Således gælder IKKE ${\displaystyle A\trianglelefteq B,B\trianglelefteq C\Rightarrow A\trianglelefteq C}$.

Dette motiverer til at definere Subnormale undergrupper.

${\displaystyle H\subseteq G}$ kaldes en subnormal undergruppe, hvis der findes en række af normale undergrupper fra H til ${\displaystyle G}$. 
Dvs. ${\displaystyle H=G_{0}\trianglelefteq G_{1}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq G_{r}=G}$
hvor ${\displaystyle G_{i}\trianglelefteq G_{i+1}}$. Vi skriver ${\displaystyle H\trianglelefteq \trianglelefteq G}$ når H er subnormal i G. Vi kalder r for længden af rækken.

Der findes nødvendigvis ikke kun en række af normale undergrupper fra H til G. En række fra H til G kaldes en minimalrække, hvis den har længde r og ingen række har længde ${\displaystyle \leq r-1}$. Vi skriver længden af en minimalrække fra H til G som ${\displaystyle |G-H|}$. Har vi givet længden af en minimalrække gælder følgende:

• ${\displaystyle r=0\Rightarrow H=G}$
• ${\displaystyle r=1\Rightarrow H\trianglelefteq G}$
• ${\displaystyle r<1\Rightarrow H\trianglelefteq \trianglelefteq G}$

Hvis alle undergrupper i en endelig gruppe G er subnormale så er gruppen nilpotent og omvendt. Denne sammenhæng er vist nederst på siden.

Lad ${\displaystyle G=S_{4}}$, den symmetriske gruppe bestående af permutationer af 4 elementer. ${\displaystyle S_{4}}$ har orden 4! = 24. ${\displaystyle S_{4}}$ er ikke abelsk da eksempelvis ${\displaystyle (12)(13)\neq (13)(12)}$. Lad K være Klein's Vierer-gruppe, ${\displaystyle K=\{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}}$, så ${\displaystyle K\subset G}$. K er abelsk, og der findes en undergruppe ${\displaystyle H=\{(1),(12)(34)\}}$ af orden 2 i K så ${\displaystyle H\trianglelefteq K}$. Vi kan nu tage alle ${\displaystyle g\in S_{4}}$ og se at ${\displaystyle gK=Kg}$. Vi har altså fundet ${\displaystyle H\trianglelefteq K\land K\trianglelefteq G}$, men da H ikke er normal i G, har vi her et eksempel på, at den transitive lov ikke generelt gælder for normale undergrupper.

Hvis ${\displaystyle A\trianglelefteq \trianglelefteq B\trianglelefteq \trianglelefteq G}$ så er ${\displaystyle A\trianglelefteq \trianglelefteq G}$ og ${\displaystyle |G-A|\leq |G-B|+|B-A|}$.

Bevis Antag ${\displaystyle A\trianglelefteq \trianglelefteq B\trianglelefteq \trianglelefteq G}$, dvs. at der �findes ${\displaystyle A=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq H_{n}=B=K_{0}\trianglelefteq K_{1}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq K_{m}=G}$ Det ses altså, at der er en kæde af normale undergrupper fra A og op til G og idet ${\displaystyle H_{n}=K_{0}}$ er ${\displaystyle A\trianglelefteq \trianglelefteq G}$. Fra antagelsen er ${\displaystyle A\trianglelefteq \trianglelefteq B}$ og ${\displaystyle B\trianglelefteq \trianglelefteq G}$, kan vi finde minimalrækker. Sæt ${\displaystyle |G-B|=m}$ og ${\displaystyle |B-A|=n}$. Som vist ovenfor findes der en kæde af normale undergrupper fra A til G af længde m + n, som ikke nødvendigvis er en minimalrække. En minimalrække fra A til G har derfor længde ${\displaystyle \leq m+n}$. Alstå ${\displaystyle |G-A|\leq |G-B|+|B-A|}$.

Vi definere en serie af undergrupper af en vilkårlig gruppe G ved: Den aftagende centralrække for G

${\displaystyle G=L_{1}(G)\geq L_{2}(G)\geq \cdots \geq L_{c}(G)\geq \cdots }$

er fastlagt ved at

${\displaystyle L_{1}(G)=G,L_{i}(G)=\quad for\,\,i\geq 2}$

Den voksende centralrække for G

${\displaystyle {1}=Z^{0}(G)\leq Z^{1}(G)\leq \cdots \leq Z^{c}(G)\leq \cdots }$

er fastlagt ved

${\displaystyle Z^{0}(G)={1},Z^{i}(G)/Z^{i-1}(G)=Z(G/Z^{i-1}(G))\quad for\,\,i\geq 2}$

Definition En gruppe G kaldes nilpotent hvis der findes et ${\displaystyle m\geq 0}$ så ${\displaystyle Z^{m}(G)=G}$. Det mindste tal m med ${\displaystyle Z^{m}(G)=G}$ kaldes nilpotensklassen af G. Man siger så, at G er nilpotent af klasse m.

Sætning: For en endelig gruppe G er følgende betingelser ækvivalente:

1. G er nilpotent.
2. For enhver undergruppe ${\displaystyle H\neq G}$ er ${\displaystyle N_{G}(H)\neq H}$.
3. For alle primtal p har G en normal p-Sylow gruppe.
4. G er et direktet produkt af sine Sylow grupper.

Her følger et par resultater som viser nogle af de egenskaber der findes omkring subnormale undergrupper.

Lemma Lad ${\displaystyle S\trianglelefteq \trianglelefteq G}$, hvor G er en gruppe, og antag ${\displaystyle K\subseteq G}$ er en vilkårlig undergruppe, så er ${\displaystyle S\cap K\trianglelefteq \trianglelefteq K}$.

Korollar Lad S og T være subnormale undergrupper i G, så er ${\displaystyle S\cap T\trianglelefteq \trianglelefteq G}$.

Sætning Lad G være en endelig gruppe og antag at ${\displaystyle S,T\trianglelefteq \trianglelefteq G}$. Så er ${\displaystyle \left\langle S,T\right\rangle \trianglelefteq \trianglelefteq G}$.

Sætning Lad G være endelig. G er nilpotent hvis og kun hvis enhver undergruppe af G er subnormal.

Bevis: " ${\displaystyle \Leftarrow }$ " Antag at alle undergrupper af G er subnormale. Lad H være en vilkårlig ægte undergruppe i G, hvor H er subnormal i G. Så findes der række af normale undergrupper ${\displaystyle H=H_{0}\trianglelefteq H_{1}\trianglelefteq \cdots \trianglelefteq H_{r}=G}$ hvor ${\displaystyle r>0}$, da ellers H=G. Så der findes ${\displaystyle H\in H_{1}}$. Da ${\displaystyle H\triangleleft H_{1}}$ gælder at ${\displaystyle H_{1}\subseteq N_{G}(H)}$ (normalisatoren), så da ${\displaystyle H\neq G}$ er ${\displaystyle H\neq N_{G}(H)}$. Dette er ækvivalent til at G er nilpotent. " ${\displaystyle \Rightarrow }$ " Antag nu at G er nilpotent, så ${\displaystyle H\subset N_{G}(H)}$, hvor ${\displaystyle H\subset G}$. Givet et H vises ved induktion (matematik) efter index ${\displaystyle |G:H|}$ at ${\displaystyle H\trianglelefteq \trianglelefteq G}$. Hvis index er 1 må H=G, og der er ikke noget at vise. Antag derfor nu at ${\displaystyle |G:H|>1}$. Så er ${\displaystyle H\subset G}$ og ${\displaystyle H\subset N_{G}(H)}$, dette betyder at ${\displaystyle |G:N_{G}(H)|<|G:H|}$. Fra vores induktionsantagelse vil det sige, at ${\displaystyle N_{G}(H)}$ er subnormal i G. Dvs. at ${\displaystyle H\trianglelefteq N_{G}(H)\trianglelefteq \trianglelefteq G\Rightarrow H\trianglelefteq \trianglelefteq G}$