Laplacetransformation

Denne artikel bør gennemlæses af en person med fagkendskab for at sikre den faglige korrekthed.

Denne artikel omhandler svært stof. Der er endnu ikke taget hensyn til ikke-eksperter. Du kan hjælpe ved at skrive en letforståelig indledning. (Lær hvordan og hvornår man kan fjerne denne skabelonbesked)

Laplacetransformation er i matematikken en transformation af en funktion til en anden funktion ved hjælp af en operator.^[1] Laplacetransformationer bruges meget i fysik og teknik til at løse differentialligninger og integralligninger.^[2] Det vigtigste anvendelsesområde er løsning af lineære differentialligninger med konstante koefficienter.^[3] Transformationen vil ofte reducere ligningerne til rene algebraiske problemer som kan løses med elementær regning med komplekse tal.^[2]

Laplacetransformation er relateret til Fouriertransformationer, men hvor Fourier indeholder en funktion eller et signal i form af vibrationer, benytter Laplace sig af en funktion i momentet.

Laplacetransformation er opkaldt efter den franske matematiker og astronom Pierre-Simon Laplace (1749–1827), som undersøgte intergralet som bruges i laplacetransformationer første gang i 1782. Selve Laplacetransformationen blev udviklet af englænderen Oliver Heaviside (1850–1925).^[4]

I 1744 fandt Leonhard Euler integraler i form af:

${\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}$

Den Laplace-transformerede funktion F(s) af funktionen f(t), som skal være defineret for alle reelle tal t>=0, er

${\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}$

hvor dette integrale er konvergent.^[5][6].

Det vil sige at funktionen f(t) transformeres over i anden funktion F(s) af en ny variabel s. s er generelt et kompleks tal, men for simple anvendelser af Laplaceformationen er det ofte tilstrækkeligt kun at betragte reelle værdier af s.^[7]

Operatoren L som fører en funktion over til dens Laplacetransformerede funktion, kaldes Laplacetransformationen.^[7][6]

En tilstrækkelig, men ikke nødvendig betingelse for at en funktion f(t) kan Laplace-transformeres er:

1. f(t) skal være stykkevis kontinuert i ethvert endeligt interval i området t≥0, og
2. f(t) skal være eksponentielt begrænset eller af eksponentiel orden, dvs. |f(t)| ≤ Me^αt, hvor M og α er vilkårlige konstanter.^[8][9]

De fleste funktioner af interesse kan Laplacetransformeres. Blandt undtagelserne er 1/t, 1/t², 1/t³, ..., tan t, cot t, som ikke opfylder betingelse 1) om stykkevis kontinuitet idet de alle har lodrette asymptoter.^[10]

• Thomas Heilmann: Laplacetransformation, 2. udgave, Heilmanns Forlag 1995. ISBN 87-983513-7-0.
• Helge Elbrønd Jensen: Matematisk analyse, bind 4, 8. udgave, Matematisk Institut, Danmarks Tekniske Højskole 1989.